Les équations de propagation d'une onde fondamentale et de l'onde doublée en fréquence, dans un milieu à non-linéarités du second ordre, sont:
Les solutions gaussiennes ont la forme:
J'ai montré que:
Les solutions stationnaires (solitons gaussiens) des équations précédentes forment une famille d'ondes gaussiennes planes dont le paramètre Q"1 est la racine réelle du polynôme du troisième degré:
En prenant des conditions initiales qui s'écartent un peu de la solution solitonique, on trouve que ces solitons dus à une cascade de non-linéarités du second ordre ont une certine stabilité:
